$\frac{0.5\times {10}^p}{0.3\times {10}^q}=5\times {10}^7$ হলে, p - q = কত?

প্রদত্ত সমীকরণটি হলো:

\[ \frac{0.5 \times 10^p}{0.3 \times 10^q} = 5 \times 10^7 \]

বামপাশের ভগ্নাংশটিকে সরল করে পাই:

\[ \frac{0.5}{0.3} \times \frac{10^p}{10^q} = 5 \times 10^7 \]

আমরা জানি, \( \frac{0.5}{0.3} = \frac{5/10}{3/10} = \frac{5}{3} \) এবং \( \frac{10^p}{10^q} = 10^{p-q} \)।

সুতরাং, সমীকরণটি দাঁড়ায়:

\[ \frac{5}{3} \times 10^{p-q} = 5 \times 10^7 \]

\(10^{p-q}\) এর মান বের করার জন্য উভয়পক্ষকে \(\frac{5}{3}\) দ্বারা ভাগ করি (যা \(\frac{3}{5}\) দ্বারা গুণ করার সমান):

\[ 10^{p-q} = \left( 5 \times 10^7 \right) \times \frac{3}{5} \]

\[ 10^{p-q} = 3 \times 10^7 \]

এখন, যদি \(10^{p-q} = 3 \times 10^7\) হয়, তাহলে \(p-q\) এর মান একটি পূর্ণসংখ্যা হবে না, কারণ \(3 \times 10^7\) কোনো পূর্ণসংখ্যার ঘাত হিসেবে 10 এর আকারে প্রকাশ করা যায় না। অর্থাৎ,

\[ p-q = \log_{10}(3 \times 10^7) \]
\[ p-q = \log_{10}(3) + \log_{10}(10^7) \]
\[ p-q = \log_{10}(3) + 7 \]

যেহেতু \(\log_{10}(3)\) এর মান প্রায় 0.477, তাহলে \(p-q \approx 0.477 + 7 = 7.477\)।

প্রদত্ত অপশনগুলো (7, 8, 9, 10) পূর্ণসংখ্যা হওয়ায়, এই সরাসরি হিসাব অনুযায়ী কোনো অপশনই সঠিকভাবে মিলে না।

সম্ভাব্য ব্যাখ্যা বা প্রশ্নপত্রে ভুল অনুমান:

এ ধরনের প্রতিযোগিতামূলক পরীক্ষায় সাধারণত এমনভাবে প্রশ্ন সেট করা হয় যেন একটি পূর্ণসংখ্যা উত্তর আসে। যদি প্রশ্নে \(0.3\) এর পরিবর্তে \(0.1\) থাকত, তাহলে:

\[ \frac{0.5 \times 10^p}{0.1 \times 10^q} = 5 \times 10^7 \]

বামপাশের ভগ্নাংশটিকে সরল করলে \( \frac{0.5}{0.1} = 5 \) হয়।

তাহলে সমীকরণটি দাঁড়াতো:

\[ 5 \times 10^{p-q} = 5 \times 10^7 \]

উভয়পক্ষকে 5 দ্বারা ভাগ করলে:

\[ 10^{p-q} = 10^7 \]

অতএব, \( p-q = 7 \)।

এই ক্ষেত্রে অপশন 1 (7) সঠিক হতো। যেহেতু গণিত অংশের প্রশ্নে প্রায়শই এমন ছোটখাটো মুদ্রণ ভুল থাকে এবং একটি অপশনকে সঠিক ধরে নিতে হয়, তাই \(p-q=7\) হওয়ার সম্ভাবনা বেশি।